李高雅西南财经大学金融学院
[摘要]在巴菲特对投资者2009年的公开信中，他讨论了BS模型应用于超长期看跌期权所存在的一些问题，从直观理解来看，本人认为巴菲特在此文中犯了三个错误。巴菲特的做空看跌期权不过也是一种投机罢了、
[关键词]巴菲特致投资者公开信期权错误计算指数长期期权BS模型
巴菲特在本年的致股东公开信中，用了整整一页讨论了BS模型应用于欧式超长期认沽期权所得出的荒谬结论。对于一个期限为100年的标准普尔500指数的10亿美元的看跌期权空头头寸来讲，巴菲特用以下公式：10-2美元‘1%‘50%，计算得出其期望损失仅为500万美元。在这里他假设最大的可能损失为10亿美元，而且期权到期时指数下降50%的概率仅为1%。其后他进一步地指出他卖出看跌期权损失的机会基本上是不存在的，从而得出结论BS公式的定价是荒谬的。
10亿美元的价值。对于卖出的10亿美元的看跌期权合约，巴菲特指出用BS公式计算出合约价值为250万美元。这让我疑惑，因为期权的价值也就是其价格。虽然期权不一定会按照其理论价值在市场上出售，但其理论价值和实际的交易价格却不会相差达到四百倍。所以我可以断定巴菲特合约的价值为10亿美元，而不是他所说的250万美元。
通过一个的简单的计算重构巴菲特的头寸，取903点作为执行价，并假设当前指数水平为903点，波动率为15.5%，无风险利率为3%。依据B-S公式计算出价值为2 5。如果把指数的每一点当作1美元来看的话，那么每份期权的价值为2.5美元。所以一份10亿美元的合约实际上是由4亿份这样的看跌期权构成的。现在就有可能用巴菲特的计算方法重新计算。如果指数在到期时下降50%，那么看跌期权卖出者将要支付的金额超过1800亿美元，这样一来期望损失就为18亿美元（仍然假设这种情形发生的概率为1%），而不是巴菲特所计算的500万美元。
巴菲特用于计算他卖出其看跌期权空头头寸的期望损失的方法是错误的，其理由有三个：第一，他并没有考虑到那些损失较小而发生概率很大的可能和那些损失很大而发生概率较小的可能，但这些都显著地影响到了期望损失的值；第二，巴菲特给出的1%的概率，只是直觉地取于现实，缺乏科学依据，概率值也太低；第三，用BS公式计算的期权价值为无套利价格（如果BS公式的假设成立的话），所以指数的真实回报率与此是不相关的。
在BS公式中，指数是遵循随机游走的几何布朗运动，并且100年后指数水平是对数正态分布的。那么指数最终卖出的看跌期权为实值期权的概率，用公式计算：P(ST<×)=1一N(d2)=12.3%，其中，ST是指数的最终水平，×为执行价格，N(+)是累积正态分布函数，d2是B-S模型中定义的参数，并且d2是在风险中性的条件下计算得到的值（并不是真实值）。进一步地，我们计算出指数水平最终低于执行价超过50%的概率近似等于S．4%，而这个值是巴菲特直观假设值1%的五倍多，这样按照巴菲特的方法计算期望损失则为4亿8500万美元。如果按照B-S公式，每份期权的期望损失为2 5美元，而巴菲特合约的期望损失为10亿美元，也是卖出看跌期权所能获得的报酬。
10亿美元的总损失。巴菲特很可能在计算其卖出看跌期权这一交易的可能总损失是假设标准普尔500指数从903点一直跌至0点的损失值。这样指数的每一点也就代表了110.7万美元。再用上述参数，用BS公式计算得出对于最大可能损失为10亿美元的期权来说，其价值就为276.1万美元，这就很接近巴菲特所算的250万美元了。巴菲特将10亿美元当作其卖出看跌期权的价值的这种做法是不对的。用我们前面的分析方法，指数下跌超过执行价50%的概率仍然是5.4%，100年里的期望损失为至少2700万美元，而不是巴菲特估计的500万美元。而相对于总可能损失10亿美元来讲，现期的期望损失溢价276.1万美元，而不是巴菲特计算的25万美元。
长期期权。巴菲特的很多结论都是利用现实数据得出的，比如说通货膨胀率，留存收益等，这些都与无套利价格并不相关。巴菲特不相信BS公式对长期期权定价，但是他给出的理由很有问题。就算[来自wwW.Lw5u.coM]标准普尔500指数的变动是一个随机游走过程而不是几何布朗运动，那么长期波动也是随机的，无风险利率水平在长达100年的时间里也可能波动很大。由于BS公式的假设不成立而造成了BS公式中计算的理论价值与真实值并不相关。可是巴菲特指出的理由与此并不相关。
在BS公式中，100年期的看跌期权价格对波动率和无风险利率都是极为敏感的。计算无风险利率为3%时，波动率变化而引起的期权价值变化的情况，当波动率从15.5%下降到14.5%时，期权价值下降了33%；波动率从10%到15.5%时，期权价值上涨幅度甚至高达36倍。无风险利率的不同，用BS公式计算的期权价值也有很大的差别，固定波动率15%，通过计算我们发现无风险利率每变化一百个基点，相应的期权价值甚至相差了十倍，这些差别是万万不可忽略的。所以即使BS公式是可以应用于长期期权的，但是由于一些参数的细微差别，往往导致我们得出不正确的期权价值。如果模型中的参数都不正确，那么我们又怎么能断定BS公式对长期期权的定价是高估了呢，又怎么能说其定价是荒谬的呢？
从[来自wwW.lw5u.Com]某种意义上来说，巴菲特的观点是建立在长期资产回报率或指数回报率可预测的基础上的。可预测性即指更少的不确定性，更低的波动率，又或更低的期权价格（Lo和Wang，1995）。所以，如果将短期内的正确的参数（如前指出这很可能是不存在的）应用于BS公式中以计算长期期权的价格，那么我们就能说得出的期权价值是高估了的。
总而言之，一方面，我们不可能知道BS模型是高估还是低估了长期期权价格；另一方面，如果不用BS公式，我们根本没有其他的途径来定价这种长期期权。所以显然地巴菲特错误地认为BS或者其交易对手们都高估了定价。
参考文献：
[l]Warrcn Buffet,(2009):Letter to the Shareholders of BerkshireHathway Inc., February 27,2009
[2]John C.Hull,(2006):Options, Futures, and Other DCrivatives,6th ed. Uppcr Saddle River, NJ: Prentice Hall