徐鹏 重庆大学数学与统计学院
[摘要]亚式期权是一种奇异期权，很难对其精确求解。基于模型选择的合理性，使用了新方法来计算平均值，然后利用了新型的二叉树模型对算术平均亚式期权进行近似计算，得到了比较理想的结果。
[关键词]亚式期权二叉树模型期权定价
期权是一种赋予持有者在将来的确定时间以确定价格购买或出售标的资产的权利，标的资产可以是股票、股价指数、外汇、期货合约和商品等。对于欧式期权，1 973年BJack和Scholes已给出了解析形式的定价公式。但是，对于美式看跌期权和很多其它形式的期权（如亚式期权）并不存在这样的解析公式，需要采用数值方法进行定价。亚式期权是一种强路径依赖型期权，其在到期日的收益依赖于整个期权有效期内的原生资产的平均价格。根据计算平均价格的不同，亚式期权可分为几何平均亚式期权和算术平均亚式期权。对于几何平均亚式期权，如果股票价格服从几何布朗运动，在Black-Scholes模型的假设下，其定价存在显示的解析表达式。但是对于算术平均亚式期权，即使股票价格服从几何布朗运动，其定价也是不存在显示的解析表达式；如果股票价格是离散的，那么就只能采用数值方法来进行研究。目前常用的数值方法主要有：蒙特卡罗模拟方法、二叉树方法、偏微分方程差分方法等。1979年，Cox，Ross和Rubistein首先提出二叉树参数模型，因其具有实用性、简易性，而且实施起来比较容易，从而在期权定价中深受欢迎。1993年，Hu¨and White首先利用二叉树方法对算术平均亚式期权进行研究。其存在的主要问题在于如何处理由众多路径产生的算术平均值，因为随着时间间隔的缩小，算术平均值的数目也随之增多。为了解决这个问题，Hull andWhite在二叉树模型的每个结点取一些具有代表性的平均值，并利用线性插值方法来计算期权价格。随后，Barraquand与Pudet(1996)．Klassen (2001)和Chalasani etal．(1998)利用二叉树模型提出了类似的方法，但是他们使用了不同的方法来选择结点处的平均值。因此，如何处理平均值的问题就成为解决算术平均亚式期权的关键问题。
论文中，我们仍然使用股票价格的二叉树模型来对算术平均亚式期权进行定价。对于平均值的选择问题，通过改进MassimoCostabile( 2006)提出的方法来确定二叉树模型的每个结点的算术平均值。但是考虑到计算[来自WwW.lW5u.com]量的问题．该模型在分割亚式期权有效期的时间间隔很小时并不实用。并且基于二叉树模型参数选择的合理性以及更便于计算，本文采用了一种新型的二叉树参数模型来确定参数。
一、亚式期权平均值的确定
假设股票价格服从二叉树模型。股票初始价格为S，zf为[来自Www.lW5u.com]价格
动率，因此CRR模型可能不适用。其二，如果股票价格服从几何布朗运动，那么只有当At，该模型才更理想。然而，由文献借助随机误差校正的思想提出的分数二叉树参数模型却不会出现负的概率，并且如果At-÷O不成立时，该模型仍有较高的精度。事实上，如果我们首先假设股票价格的上涨概率和下跌概率是相
其中，d为股票年波动率，r为年无风险利率。从该模型可知股票上升的概率和下降的概率是相等的，这个结论也是比较符合真实的情况的，因为如果股票市场是有效的，那么未来的价格将取决于未来影响股票价格的一切信息，而这些信息又是不可预料的，所以从理论上可以认为股票上升和下降的概率是相等的。另外，应用这个模型计算时也简单易行，因此可用来处理亚式期权这样的复杂路径期权。
三、算例
下面通过计算实例来说明计算算术平均亚式期权的有效性。仍然以亚式看涨期权为例。
例考虑一个在期权有效期内不付红利的算术平均亚式期权。假设股票初始价格S=50，期权的有效期限F-1年，无风险利率，r=O.l和股票价格的波动率r=O.l。将有效期进行了不同的分割，下表给出了在不同敲定价格下的计算结果，并比较了蒙特卡罗模拟方法的计算结果。