孙玉希 青岛大学师范学院
摘要：通常情况下，应用数学在我们的日常生活中都起到一定的重要作用，而我们做药研究的这些数学镇魂石我们在生活中的总结，亦是我们生活中智慧的集聚。因此，应用数学的价值也充分的体现在实际生活当中。如今应用数学已经具备一定的深度，并普及到环境、经济、信息等多个领域中，使得这些行业发生了质的改变。本文正是在这样的背景下，以等价无穷小极限为例，探讨其在证券估价中的应用。
关键词：等价无穷小；极限；应用推广
一、等价无穷小的内涵
等价无穷小，也就是首先设函数（f x）在x0的某一中心领域内，或者说x 大于某一正数时有定义。如果对于任意给定的正数ε，不论它多么小，总存在正数δ（或正数X），使得对于适合不等式0<|x-x’|<δ（或|x|>X）的一切x，对应的函数值（f x）都满足不等式|（f x）|<ε，那么称函数f（x）当x→x’（或x→∞）时为无穷小。记作limx→x’,（f x）=0（或limx→∞,f（x）=0）
一般情况下，我们所用的初等函数通常有单脚函数、反三角函数、幂函数、对数函数以及指数函数有五大类，及时在比较复杂的一些方程式中的求解也都是运用这五种函数进行运算。下面本文将这五类初等函数的无穷小进行代换：
在当x→0 时：
三角函数无穷小代换有：sinx~tanx~x；1-cosx~1/2x2
幂函数无穷小代换：（1+x）a-1~ax（a 可以取整数也可以取分数）；
指数函数无穷小代换：ex~x+1，ax~lna×x+1；
对数无穷小代换：ln（1+x）~x，loga（1+x）~x/;lna；
差的无穷小代换：1-cosx~x2/2，x-sinx~x3/6，tanx-x~x3/3，x-ln（1+x）~x2/2，tanx-sinx~x3/3，x-arctanx[来自WwW.lw5u.cOm]~x3/3，arcsinx-x~x3/6，arcsinx-arctanx~x3/2；前面两个代换后为二次函数，后面代换为三次函数。而且从代换的等价无穷小方程式来看，代换的方程式明显比前面未代换的方程式简单得多。
二、等价无穷小极限在证券估价中的应用
1.企业筹资决策的假设
各个方面的因素都会影响企业的筹资决策，这是一个非常复杂的过程。关于这个问题的研究，我们可以对其进行一下方面的简化：
（1）从实际的经营情况来看，企业投资是一项持续长时间甚至永久性的工作，据此，我们做一个企业筹资决策的假设，假设投资所需要的最佳资本为V0, 而将付息前这项投资能够获得的利润的概率分布函数定义为P(X)，将其函数分布范围定为,因此，它的期望付息前利润为：
付息前利润的均方差
第二，一般性的股票融资以及永久性的债券，都是企业最普遍的融资方式。这两种筹资方式的组合筹资所能够获得的资本量为V0。
第三，在企业的经营过程中，是不必保留利润的，也就是说企业把每年所能够获得的利润都分配给股票投资者；
第四，我们假设企业是处于一种稳定的经济体系中。在这个体系中，不存在税收风险、成本风险以及货币的变动风险。企业与企业投资者之间是完全透明的信息公布状态。
第五，企业股东仅仅指那些持有原始股票的投资者，而企业的经营，是为了这些投资者与经营者创造最大的市场收益。
2.企业的筹资决策过程
通过上文的假设，企业的筹资过程就可以通过图一、二来进行反应。其中， 只是反应企业股票筹资时希望获得的最佳利润，它的公式可以表达为：期望付息前利润/ 股票资本或最佳资本量,即
上图中的坐标原点主要指的是企业在没有债务融资情况下的经营风险，两条曲线代表了两个方面的风险：分别是企业破产的风险和股票报酬率的风险。上图中的横坐标d 主要反映的是公司筹资过程中的债券成本D0 以及股票资本S0 之间的比例。公式可表示为D0/S0，其也被成为债务权益比，该比例反映的是企业采用永久性债券替代普通股票筹资的程度。见下面公式：
所以，在图中横坐标上的任意一个点，皆都呈现了一个问题，即企业所承担的风险。因为举债筹资模式所带来的企业财务风险，就是这个点与坐标原点的差额，包括迅速上升的破产风险，以及股票报酬率可变性风险的上升。另外，有曲线r（债务市场利息率）Ke（股票市场利息率）也代表了企业总风险、单位证劵风险以及资本市场中无风险利息率的某种函数。曲线i 表示了企业在举债筹资时期望利润率曲线;在这一曲线上的每一点i 都等于期望付息前利润扣除债券利息费用后的差额除以企业筹集的股票资本,即
上述公式有效的表达了财务杠杆的效应———(Q-r)D0/S0，而企业财务杠杆效应的最终结果，则由曲线i 的变化所显示出来。我们将得出一个公式———股票市场价值S，就等于按照股票的市场利息率资本化后期望息后利润的现值,即
上式中明确的表现出曲线i、Ke 之间的关系，我们进行分析可知，要想股东的财富增加到更大，相应的股票的市场价值与股票资本的差额△S 需要取得最大值。据此可知,以曲线△S 取得最大值点所对应的债务权益比d*，就是企业应该选择的最佳资本结构。
以上的筹资决策推导过程，我们也可以看出企业债务融资的两种效应，其一就是在企业增加债务融资的过程中，企业会相应的多承担很多风险，这种增加也就是替代效应。这种效应表现在上图一中就是:企业的债务权益比有增加趋势以后，曲线r 和曲线Ke 也会按不同的比率增加,而且其中的任一债务权益比,都是前者低于后者。第二就是财务杠杆效应，这主要反映的是企业在进行债务筹资时，会导致企业的期望利润上升或者下降。图一中的曲线i，从纵坐标上的Q 开始的递减、再上升，然后走下划线，这种走向也体现了这种效应。单从这两种情况来看，当股东的成本低于股东收益时，股东的财富就会有所上升，反之就会下降，当然在股东的成本与股东收益相等时，那么股东财富便不会增加也不会减少。因此,以资本市场上的参数为约束条件, 企业筹资决策的目标就是在股东成本低于股东收益的基础上，实现股东财富的最大化。
3.企业价值曲线的变化趋势
一般情况下，我们认为债权的市场机制也就等于债权利息的资本化，即
上式中D 为债券的市场价值，D′0 代表的是债券的票面价值，而r0 即为票面利息率，r 则表示债券市场利息率。
企业在规划债券的发行时，债券本身的票面价值可以反应出企业筹集的债券资本，同样的，企业债券票面价值的利息率可以反应债券的市场利息。
因此，企业的债券利息费用（每年只支付一次）D′0r0 就等于前面所述的D0r,也就是债券的市场价值约等于企业筹集的债券资本,即
企业价值V，就等于债券与股票的市场价值相加的和,即V=S+D。根据式(2)、式(5)和式(6),得V=S-S0+D+S0=△S+D0+S0=△S+V0。由此推断可知两条信息，图二曲线V 的变化趋势可由曲线△S 加上一条表示最佳资本量的直线V0 来确定，也就是说，企业价值与股票增值之间相差一个由投资决定的最佳资本量。另外，我们可以看出实际上企业价值最大化等价于股票增值最大化，这两种数值都可以作[来自www.lw5U.com]为决策标准来衡量企业的最佳资本结构。
参考文献：
[1]《高等数学》编写组.高等数学(工科)[M］.苏州:苏州大学出版社,2007．
[2]陆晶.等价无穷小在求函数极限中的应用与推广[J］.硅谷，2008,(12):120—121．
[3]屈红萍,赵文燕.等价无穷小代换求极限的方法推广[J].保山学院学报,2011(2):54 一57.
作者简介：孙玉希（1992- ），女，山东青岛人，专业：数学与应用数学