编者按：2012年10月，南宁市教育科学研究所举行了首届初中数学说题比赛活动。本次活动要求以现行教材中的一道例（习）题为题，从题目背景、意思、解法、变化、教法与学法、反思等几个方面展开说题，形式新颖，意义深远，教师参与面广，反响强烈。但是，从比赛的情况看，广大一线教师对说题依然存在模糊认识，而这从本质上反映的是我们教师在日常例（习）题教学中时对例（习）题本身的认识模糊。为此我们特约该所数学教研员农学宁对有关问题进行深入的阐释。
南宁市教育科学研究所 农学宁
例（习）题教学在数学教学活动中占据重要地位，教师在进行例（习）题教学时，通过引领学生分析解题思路、反思解题过程、拓展习题的内容与形式等来加深学生对基本概念的理解，使学生对概念的理解完整化、具体化，进而形成完善、合理的数学认知结构。为了加强教师对例（习）题教学的研究，我们决定以赛促研、以赛促教，使说题研究成为教师的一种重要的集体教研方式。
一、为什么要做“说题”研究
我们在一线调研时发现，目前各校例（习）题教学中普遍存在以下问题：轻视教材例题，盲目选题；教法单一，缺乏创新；就题讲题，外加“题海战术”；欠缺做题后的深刻反思；不考虑学生实际，偏重解题技巧和解题模式的归纳。一位资深研究员曾感慨地说：“许多老师讲完例1，便是‘下面开始讲例2’，却不知道为什么要讲例1和例2。”话虽简短，却深刻揭示了我们教师在课堂例（习）题教学中存在的核心问题。
为了促进和优化教师对例（习）题教学的研究，说题教研迫切需要提上教研日程。我们设想，在没有学生参与的情况下，引导教师向同行讲述自己的教学设想、解题经验和理论依据，强化教师对数学问题、教法学法的深入研究，营造更为务实的教研风气，促使教师探求新型的教学方式，改变传统的例（习）题教学模式。
二、“说题”的内容
“说题”，简言之就是“说”数学题，即教师在例（习）题教学中能够说清楚该题的出处和解题路径，主要从题目的背景、解法及其对思维培养方面的作用等几个方面去分析、说明。
课本中的例题多数具有很强的典型性、示范性，蕴含一种数学思想，示范一种解题方法，甚至包含丰富的数学背景知识。教师对教材例（习）题编写意图的理解，直接反映了教师对教材的理解。因此，如何充分挖掘这些例（习）题的潜在功能，调动学生学习数学的积极性，激活学生的学科思维，值得每一位数学老师深入思考和认真研究。
我们以教材中的一道例（习）题为题，要求教师主要从题目的背景、意思、解法、变化、教法与学法、反思等几个环节去展开“说题”。从表面上看，教师“说”的是数学知识间的前后联系、解决问题的方法和策略，但从本质上说，这些内容却反映了教师自身的学科理论功底、对数学知识的掌握程度、对数学方法的理解能力以及数学教学的理念前瞻性。
三、怎样“说题”
（一）“说”题目的背景
1.题材背景。该题目出自人教版九年级下册26.1.3二次函数y=a（x-h）2+k的图象第3课时的例3。
2.知识背景。该题目涉及的知识点有：①描点法画函数图象的步骤；②二次函数y=ax2，y=ax2+k，y=a（x-h）2的图象、性质以及图象间的相互关系。
3.方法背景。根据学生已有知识与经验间的内在联系，让学生大胆猜想后画图验证，从函数对应值表、图象、解析式中观察抛物线的平移规律。
4.思想背景。数形结合思想、平移变换思想、化归思想、坐标思想、从特殊到一般的思想等。
赵老师的以上分析，是比较到位、透彻的。“说”题目背景的目的，就是要教师们明确以下问题：教材设置该道例（习）题的目的和意义、该例（习）题与数学概念之间的关系、该例（习）题与其他例题之间的关系、该例（习）题与习题之间的关系等。这些处于不同地位的例（习）题，其在课堂教学中的作用是不尽相同的。对例（习）题进行深入研究，而不是就题论题，才能确保我们的教学不致偏离目标，出现小题大做或大题小做的情况。
（二）“说”学情
“教是为了不教”，“教是为了学”。“说”学情，就是要从学生的认知水平、认知起点、认知障碍以及教师的应对策略等方面，去逐一阐释。我们还是以上面的例题为例，看看赵老师如何来“说”学情。
1.学生特点。本题的学习主体是毕业班学生，他们的观察能力已有所发展，逻辑思维能力开始占据一定的优势，并具备了从一定问题中抽象概括出一般规律的能力。
2.估计学生可能会出现的学习困难。当知识点一个一个呈现时，学生比较容易掌握。但将知识点综合到一起，以题目的形式呈现，学生就不太容易理解，难以归纳、概括出一般规律了。
3.教学策略。学生已经掌握了利用描点法画函数图象的知识，能够从图象上认识函数的性质。本题的教学可以从分析教材的编写意图出发，引导学生体会数学知识之间的联系，感受数学的整体性，丰富解决问题的策略，提高解决问题的能力，而这也充分体现了课程标准的要求。
赵老师对学情的分析，反映出他的以下教育教学理念：充分地理解学生，思考帮助学生理解教材内容的策略，以使后续的教学过程能够真正讲到点子上，避开无关的问题，确保提高课堂教学的实效。
在这个环节中，教师要认真分析学生的认识能力和知识水平，预测学生可能会遭遇的思维障碍，并努力借助自身的教学经验，去把握学生思维障碍形成的原因及解决的策略，不断优化教学活动，做到精讲精练、教学相长。了解学情有助于教师把握好教学的度，优化教学的方法，进而指导学生在探究学习的进程中，少一点害怕和逃避，多一点自信和勇气。在这个环节，希望老师们不要一味地强调自己的学生在学习态度、学习基础方面有着怎样怎样的问题；了解学生真实的学习状况，思考帮助学生解决各种问题的有效策略，这才是教师的天职。
（三）“说”题目的意思
“说”题目的意思，就是运用数学语言说清题目所给出的信息：题目属于哪一种类型，是否熟悉，已知条件（包括隐含条件）有哪些，待求结论是什么，等等。特别要说明题目中的已知条件，挖掘题目中的隐含条件，说明难点所在的位置、程度和成因。我们以南宁市明秀学校孙皝愻老师执教的七年级上册第104页探究3“电话计费问题”为例，加以说明。原题如下：
下表中有两种移动电话计费方式。
考虑下列问题：
（1）设一个月内用移动电话主叫为t min（t是正整数）。根据上表，列表说明：当t在不同时间范围内取值时，按方式一和方式二如何计费。
（2）观察你的列表，你能从中发现如何根据主叫时间选择省钱的计费方式吗？通过计算验证你的看法。
针对这道题目，孙老师如此去“说”题目的意思：
1.题目的条件
直接条件：以表格的形式呈现两种计费方式的月使用费、主叫限定时间、主叫超时费的单价。注意“被叫免费”。
隐含条件：月使用费包含了主叫限定时间的通话费。
待解决的问题：①列表说明当t在不同时间范围内取值时，两种方式如何计费；②根据列表发现省钱的计费方式。
2.题目的重、难点
重点：根据题目条件获取信息，建立电话计费的方程模型。
难点：①如何划分主叫时间的范围；②比较两种方式的计费。
从例子中可以看出，在引导学生解题之前，孙老师对题目的条件进行了深入细致的分析，说清了此题的重点、难点。教师只有“心中有题”，才能在引导学生解题时做到有的放矢，使用适切的教学和解题策略，找准解决问题的切入点。教师的引导，对学生解题有着关键的作用。如果教师对题目的条件特别是对隐含条件分析得不够充分，容易导致学生理解问题出现偏差，不能抓住要点。
（四）“说”题目的解法
“说”题目的解法，就是说题目的解题步骤和结论。我们要求教师在“说”题目的解法时，必须分析解题的基本思路和解题策略，总结出一般规律；对于一题多解的问题，还应说明解法的优化、变化和结论的一般推广。我们以南宁市第十四中学张杏华老师执教九年级上册第47页探究3的说题为例。
该题原题如下：
如图22.3.1，要设计一本书的封面，封面长27cm，宽21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的长方形。如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（结果保留小数点后一位）？
张老师这样“说”题目的解法：
解法一：设正中央的长方形两边分别为9xcm，7xcm，可得方程
（注：张老师还具体分析了以上四种解法的思路及思路来源，对不同的方法进行了分类和规律总结，因篇幅所限，我们不再详解。）
通过引导学生充分讨论，激活并呈现学生的各种思维方式，得出多种不同的解题方法，进而激发学生的学习热情，使学生体会到解题方法的多样性。此题的解法多样，而课本给出的恰恰是比较复杂的一种，且其设元用到的数量关系也不是例题直接给出的。为什么课本会选择这样的解题方法呢？这就需要我们在备课时认真地思考。我想，这里边有两个原因：一是引导学生学会挖掘题目中的隐含条件；二是此法的答案出现的是两个正解，可以引起学生对解的取舍的关注。
张老师对题目的解法除了有一题多解的分析，还提出了一个值得我们思考的问题：“为什么课本会选择比较复杂的解题方法呢？”这说明，张老师在对比该题的不同解法时，进一步理解了教材的编写意图。这是一个值得提倡的做法。以往老师们关注解题法中的一题多解，只是停留在技巧的运用层面，而往往忽视了不同方法的优选，特别是教材方法的选编意图。
（五）“说”题目的变化
“说”题目的变化，就是从条件或者结论出发，或利用类比思想进行延伸，“说”解法的优化、变化和结论的一般变式、推广、拓展等。我们还是用上面的设计书封的例题为例，看看张老师如何来“说”题目的变化。
变式一：数量关系改变
要为一幅长29cm，宽22cm的照片配一个镜框，要求镜框的四条边宽度相等，且镜框所占面积为照片面积的四分之一，镜框边的宽度应是多少厘米（结果保留小数点后一位）？（新人教版九上习题22.3综合运用）
相同点：图形相同，等量关系相同，解题方法相同。
不同点：原题已知大长方形的长与宽，此题知道的是小长方形的长与宽；此题的边衬全部等宽。
变式二：图形改变
如图，要设计一幅宽20cm，长30cm的图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为3：2，如果要使彩条所占面积是图案面积的四分之一，应如何设计彩条的宽度（结果保留小数点后一位）？（新人教版九上习题22.3拓广探索）
相同点：数量条件相同，等量关系相同。
不同点：图形不同。
两个变式与原题相同，都是通过两个矩形的面积关系列出方程。
设计意图：①进一步熟练掌握用面积关系列一元二次方程解应用题；②加强学生对文字信息与图形信息的理解与分析。
数学变式训练是一种常见的教学设计方法，通常是在数学例（习）题教学过程中对概念、性质、定理、公式或问题等从不同角度、不同层次、不同情形、不同背景作出一定的变化，使其条件或结论的形式或内容发生改变，而本质特征不变，意在揭示不同知识点之间的内在联系。但需要提请教师注意的是，变式不是变相的“题海战术”。对例（习）题进行适当的变式和拓展是例（习）题教学的必经过程，但过多偏离例题的目的和作用的变式训练，必将滑向“应试”的泥潭。教师要认真研究教材中例（习）题设置的初衷。从上例中我们可以看出，张老师对变式问题的选择是有明确目的的，两个变式题都源于教材，她将题目中的数量、图形进行适当变化，与原题保持紧密关联，可见她对教材有着整体的把握，既使学生及时巩固了刚刚习得的知识与方法，又使他们解决问题的能力得到了及时的延展训练。
（六）“说”教法与学法
“说”教法与学法，即简明扼要地说明如何进行题目的教学的方法。以南宁市第十四中学黄芳老师执教八年级上册（旧版教材）第124页“一次函数与一元一次方程”中的例1为例。原题如下：
一个物体现在的速度是5米/秒，其速度每秒增加2米/秒，再过几秒它的速度为17米/秒？
教师“说”教法与学法如下：
八年级的学生已经初步具备了探究问题的能力，但是对知识的主动迁移能力较弱，为使学生更好地构建新的认知结构，我将在教学中采用启发式教学与小组讨论、探究相结合的方法。
1.学生审题，独立思考完成。
2.引导学生用函数观点分析问题。
3.自主探究用函数的方法解决问题。
4.讨论一次函数与一元一次方程的联系。
因为该题的难度不大，黄老师基于学情，把学习的主动权交给了学生，引导学生从适合角度去分析问题、自主探究，然后展开讨论。我们在平时的例（习）题教学中，常常看到单一的讲授式，教师在出示例（习）题后便沿着自己的思路，一个条件一个条件地分析，直至讲出解题的结果。这样的讲授式，看似流畅，但学生听得乏味，往往是“会做的地方不想听，想听的地方没听到”。这就反映出，我们的老师对教法与学法的研究有待加强。
目前，我们一线教师的教学现状不容乐观：教法单一、照本宣科、讲解刻板，缺乏变通与创新，教学效果不尽人意。例题简单时，老师将解题过程直接板书出来，让学生自己看解题过程，或者逐字逐句念给学生听；例题有一定难度时，老师把自己的解题方法一股脑儿地“灌”给学生，学生缺乏思考，逐渐便养成了“你讲我听”的接受式学习方式，思维不能得到有效的训练，遇到类似问题只能勉强应付，条件稍有变化便难以作出独立的决断。所以，教师在教学中一定要把握好教师主导与学生主体的关系，在引导方法上多下些功夫，真正做到“授人以渔”。
（七）“说”反思
反思的内容很多，比如：反思解题过程是否正确，反思有无其他解法，反思结论或性质在解题中的作用，反思解决问题的思维方法能否迁移，等等。还是以书封的设计一题为例，我们看看江南区江西中学的苏江华老师是怎样“说”反思的。
1.审题是基础。教学中应让学生结合图形，理解题意；列方程解决实际问题，最重要的是能从实际问题中抽象出数量关系，构建数学模型。
2.找等量关系是关键，体验方程思想。等量关系一般是题目中的某一句话或几句话的综合。
3.要根据具体问题，直接或间接地设未知数。未知数的假设直接影响到列方程与解方程的难易，要具体问题具体分析。此题涉及的数量关系很多，在此我们主要应讨论利用面积间的数量关系列一元二次方程解题。其实在学生学习了相似的性质后，还可以利用相似比来列方程解题。
说题反思属教学之前的“预设反思”，其特点是根据特定的理论假说和教学实践经验以及学生的实际状况，为教学作出缜密的计划与安排。当问题得到解决，却不能就此止步：如何将抽象、枯燥的数学解题过程与思路通过老师的精心提炼，把精髓展示在学生面前；如何使学生通过对一个数学问题的解决，能够拥有解决一类数学问题的能力；如何让学生在解决数学问题的过程中体会数学的思想方法……这些都是教师在例（习）题教学中应当及时总结与归纳的内容。
我们数学老师都知道，数学学科其实并不枯燥乏味，数学中蕴含着简洁之美、和谐之美、奇异之美，数学问题中包含着丰富的数学文化，如果我们在进行例（习）题教学时插入这些美学和文化的元素，必定有助于学生从枯燥的习题训练中得到学习的乐趣。
对“说题”进行深入研究，把它上升到日常教研的层面，我们的工作才刚刚开始。尽管存在着诸多不足，但是我们有信心勇于进取，不断探索，并通过以赛促练、以赛促研，引领我们的老师切实提高例（习）题教学的水平，为学生减负尽到自己的责任。
（责编 白聪敏）