南宁市教育科学研究所 黎福庆
《普通高中数学课程标准（实验）》指出，高中数学课程要体现基础性、应用性，强调对数学本质的认识，注重提高学生的数学思维能力，体现数学的文化价值。这是设计高三总复习的思想基础。
一、《2015年普通高等学校招生全国统一考试大纲（文科/理科）》及《2015年普通高等学校招生全国统一考试大纲的说明（文科/理科）》（以下总体简称考纲）解读
依据考纲，2015年高考数学学科的命题指导思想是坚持“有助于高校科学公正地选拔人才，有助于推进普通高中课程改革，实施素质教育”的原则，在命题中体现普通高中课程标准的基本理念，以能力立意，将知识、能力和素质融为一体，以全面检测考生的数学素养，发挥数学作为主要基础学科的作用，考查考生对中学数学的基础知识、基本技能的掌握程度，考查考生对数学思想方法和数学本质的理解水平以及进入高等学校继续学习的潜能。
今年高考，我区将第一次使用高考课标卷，依据《考纲》，今年的课标卷与往年我区使用的大纲卷相比，有诸多不同：①考点改变较大，例如概率统计部分及导数部分（文科）明显增多。②考试内容排序及要求改变。③更重视过程与方法，更注重理论与实践相结合。④题型及难度改变：文理科相同试题减少，如立体几何、概率统计解答题的选材文理科均有不同要求；三角函数部分难度降低；增加了选考题；数列、立体几何和解析几何难度下降；等等。
鉴于以上情况，总体建议：已降低要求的内容，教师在复习时不要再拔高；已删除的内容，教师不要再增补。下面，我们对新旧教材的内容做个大盘点，以便于教师准确把握《考纲》对各部分内容和要求的具体变化。
二、明确试卷结构，分析近年主干知识命题特点及备考策略
（一）依据考纲，解析2015年的考试内容及试卷结构
2015年的数学高考仍采用闭卷、笔试形式，有第Ⅰ、第Ⅱ卷，满分150分，考试时间为120分钟。第Ⅰ卷为必考内容，含12道选择题。第Ⅱ卷含必考和选考两部分，皆为非选择题：必考部分有4道填空题、5道解答题；选考部分从选修系列4中的“几何证明选讲”“坐标系与参数方程”“不等式选讲”3个内容中各命制1道解答题，考生从3题中任选1题作答，多做则按所做的第一题给分。
综观全卷，共有选择题、填空题和解答题3种题型，其中：选择题是四选一型单项选择题；填空题只需填写结果，不必写出计算或推证过程。三种题型分值分布：选择题40%左右，填空题10%左右，解答题50%左右。以上试题，按其难度分为容易题、中等难度题和难题，总体难度适中。
（二）高考数学卷的命题规律及2015年备考策略
根据全国课标卷近几年主干知识的考点分布特点，我们可大体分析出数学卷的命题规律，并对2015年的考点作出简单预测。
（1）函数、导数与不等式
通常对这部分内容的考查包括2道客观题、1道主观题，分值为22分。题目将不仅对函数知识自身进行显性考查，而且会将函数知识与其它主干知识（数列、不等式、解析几何、导数等）结合起来进行隐性考查。命题的热点包括函数的表示、函数值域与最值、函数的图象与性质，利用导数研究函数的切线、单调性、极值最值问题以及导数在实际问题中的应用，线性规划、不等式恒成立求参数的取值范围、函数不等式、数列不等式的证明等。
预测2015年的函数与导数试题仍将是两小一大，客观题考查函数的图象、性质以及导数的几何意义、零点等。建议特别关注姊妹不等式ex≥x+1与ln（x+1）≤x及其变式应用。
（2）三角函数和解三角形
以三角函数图象和性质为基础，掌握三角函数的性质及图象的平移、伸缩变换；以诱导公式、同角关系及和、差、倍角公式等为基础，掌握化简、求值及三角恒等变换的方法技巧；以正弦定理、余弦定理、面积公式为基础，掌握解三角形时边、角的求值及其综合应用。
备考建议：①高考对三角恒等变换能力要求较高。解答三角函数考题的关键是进行必要的三角恒等变形，其解题通法如下：从角度、函数、运算入手发现已知和未知的差异，通过套用、变用、活用公式来寻找联系并合理转化。解题技巧包括项的分拆与角的配凑、化弦（切）法、降次与升次、辅助角公式等。②《考纲》中不作考查要求的内容不要随意添加，如万能公式、和差化积、积化和差公式等。
预测三角函数每年必考，一般为1大1小或3小，分值在17分左右，难度在容易和中等难度之间。考题考查角度是从基础到能力。另外，三角函数的定义域、值域、解析式、图象与性质、三角函数的概念及同角三角函数关系式，一般难度不大，主要是考查基础知识和基本技能，这种趋势在今年高考中预计仍将继续；而三角函数的图象和性质、三角恒等变换的内容在主客观题中都有可能出现。解三角形问题在教材中的地位和考试中的地位都有很大幅度提升，必须引起足够重视。
（3）数列
课标卷对数列的考查有所降低，主要是等差、等比数列。考查方式包括2道客观题或1道主观题，分值一般为10—12分。从考查的知识点看，重点是两类数列（等差与等比数列）、数列求和（裂项求和法、错位相减求和法等）和两类综合（与函数、不等式的综合），整体难度中等，个别试题属于压轴题。从命题思路看，虽然也有综合型问题和探索型问题，但仍以基础知识、基本方法为主，而且更加注重知识的基础性和应用性。
备考策略：①切实掌握等差、等比数列的概念、性质、通项公式及前n项和公式。②灵活应用通项与前n项和的关系以及数列的递推关系来解决相应问题。③注重基础，强化落实，切实提高运算求解能力。掌握常用的求和的基本方法：分组法、错位相减法、倒序相加法、裂项法、累乘法、累和法等；掌握常用的简单递推式的变换技巧。
预测会有1—2道客观题或1道主观题，以等差、等比或简单的递推关系为考查方向，也可和函数知识结合起来考查数列不等式。
（4）概率统计
通常这部分的考查为1道客观题、1道主观题，分值一般为17分。
从知识点上看：算法中主要包括两类，一是求程序框图的执行结果，二是确定条件结构中的条件与循环结构中的控制变量；统计中主要考查随机抽样中的系统抽样与分层抽样，样本的平均数、频率、中位数、众数、方差，频率分布直方图、茎叶图，变量间的相关关系中的线性回归分析及独立性检验的基本思想及其初步应用；概率中主要考查两个计数原理、二项式定理、古典概型、几何概型、条件概率、离散型随机变量的分布及其均值方差等。
从命题思路上看：在算法方面，条件结构与分段函数相联系，循环结构与数列、统计等知识相联系；在统计方面，分层抽样中的计算，相关系数中回归方程的应用，频率分布直方图、独立性检验与概率相结合；在概率方面，注重知识的基础性和应用性。这几年试题难度中等，试题背景新颖，选材变化较大，主要考查考生运用数学知识解决实际问题的能力。
备考策略：掌握用样本估计总体的方法，会阅读或制作图表；关注统计与随机变量相结合的题目，对于独立性检验也要引起重视；重视几何概型题。
预测选择、填空题有2题10分，内容包括排列组合与概率、二项式定理、抽样、回归方程、相关关系、正态分布等。解答题以应用题形式出现，共12分，内容包括期望与方差、直方图、茎叶图、数字特征、线性回归等。命题趋势：二项式定理必考，解答题部分出现形式是与统计、直方图相结合，概率与分布列、期望、方差、回归方程为独立性检验。
（5）立体几何
考查的重点和热点是简单几何体的三视图、表面积与体积的计算，空间的位置关系证明、空间角的计算以及空间向量在立体几何中的应用。
考查一般为2道客观题、1道主观题，属中等难度题。客观题中，三视图为必考内容，球与几何体关系中涉及面积、体积的计算也是常考的题目；主观题常以锥体、三棱柱为载体，考查垂直、二面角、线面角，难度适中。文科涉及体积、距离的运算；理科突出向量方法解决，对构建空间直角坐标系及利用空间向量解题提出了一定的要求。在“综合法”与“向量法”的平衡中，理科有“向量法”渐强的趋势，文科不学向量法。
备考策略与预测：把基础知识、基本技能、基本方法的试题练习到位，解题步骤以高考评分标准为依据加以规范。预测会有2道客观题、1道主观题，共22分。三视图的考查难度加大，可能以组合体形式出现。主观题仍注重空间位置关系的证明、空间角与距离的计算以及空间向量在立体几何中的应用。
（6）解析几何
一般考查1—2道客观题、1道主观题，分值在17—22分之间。圆、椭圆、双曲线、抛物线四种曲线至少考两种。客观题突出考查圆锥曲线的概念、方程与性质的应用，解答题突出考查直线与圆、椭圆、抛物线的位置关系的综合应用。客观题难度中等，主观题文科侧重椭圆与圆的综合题；理科侧重椭圆、抛物线与圆、双曲线问题中的最值及性质中的定点、定值等相关结论探究。预计2015年高考主观题仍然以椭圆为主进行考查。
从命题思路看，仍以基础知识和基本方法为主，包括直线、圆锥曲线的有关概念、方程及性质，重点是灵活运用圆锥曲线的知识和解析法探究定值、定点、最值以及存在性等问题的思想与方法。
备考策略：掌握以下重点问题的解决方法——中点弦问题，常用设而不求法（点差法）；焦点三角形问题，常用圆锥曲线的定义及正、余弦定理解题；直线与圆锥曲线的位置关系问题，基本方法是解方程组，在转化为一元二次方程后再利用判别式、韦达定理、弦长公式、不等式等知识解决问题；圆锥曲线中的有关范围（最值）问题，常用代数法和几何法解决，如有明显的几何关系可用图形的性质来解决，否则用函数求最值或范围，在已知曲线类型求曲线方程或轨迹问题时可用待定系数法，未知曲线类型时可用求曲线方程的常见方法，如直接法、定义法、相关点法、参数法、几何法、交轨法等。
三、总体备考攻略
（一）明确各轮复习的侧重点
（1）第一轮复习策略是立足“三基”（基本技能、基本知识、基本思想和方法），夯实基础，弄清每一个知识点的来龙去脉，完善知识体系。例如在等差数列an中，若m+n=p+q，则必有am+an=ap+aq；数列Sn，S2n-Sn，S3n-S2n也是等差数列。像这样的基本知识和基本技能都很重要，但教师不能将这些知识和技能直接告诉学生，而应安排一定的时间（课内或课外）给学生自己证明，让学生弄清它的来龙去脉，同时将这些内容在复习时纳入等差数列的知识体系。
（2）第二轮复习策略是培养提高能力，避免题海战术。专题复习要突出对专题的重要思想方法的培养：通过解一定量的综合题，使学生由对单一知识的认识上升到对知识交汇处的重点知识的认识；可以选取课标卷真题或者模拟卷典型例题进行教学。①（2014年高考全国课标Ⅱ卷理科数学17题）已知数列an满足a1=1，an+1=3an+1.（I）证明an+1/2是等比数列，并求an的通项公式；（II）证明
本题考查等比数列定义、求数列通项公式以及不等式的证明等综合问题，难度适中，属于常规问题。解题思路：第一问直接配凑一个等比数列，利用定义法证明；第二问可从第一问计算出的结果中看出数列的通项公式为等比数列与常数之和，这样的通项不能取倒数求和，这种情况下只能采用放缩成等比数列后再求和、放缩后裂项相消求和或通过放缩直接证明不等式。本题的解法较多，体现在数列求和与不等式证明综合，考查的是考生的分析问题和解决问题能力。②三角函数专题中的经典题求函数y=sinx+cosx+2sinxcosx的最值。其解题思路是设t=sinx+cosx，则t∈
的最值问题。本题考查三角函数的图像和性质、二次函数在闭区间上求最值的基本知识和基本技能，突出对运算求解能力以及换元和转化思想的考查，是在三角函数和二次函数的知识交汇点设计试题。
（3）第三轮复习策略是加强综合训练与考前模拟，全真模拟训练，重点是查漏补缺，加强教学诊断。可重点选取使用课标卷省份的名校模拟试题，最好是使用自编的试题。年级统测之前务必安排两名教师先把试卷认真做一遍，确保试题的科学性，考完即公布答案；教师要及时批改，争取第二天便予讲评。试卷讲评课的重点是抓住典型问题集中剖析。
（4）第四轮复习策略是回归课本基础，个别心理疏导。考前10天左右，让学生认真看看以前做过的试卷，纠正做错的题目，或者阅读教材。教师每天可自编课本上一些简单题目，以一节课能完成的题量为标准；另外安排每三天利用一个下午完成一套完整试卷，练完马上公布答案，不用讲评。
（二）明确主观题评分标准，指导学生规范答题
在第二、第三轮复习中，教师要引导学生规范解题的过程与方法，让学生知道试题评分的标准，提高学生的抢分意识。以2013年高考数学（理）全国大纲卷18题第Ⅰ问为例：设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，（a+b+c）（a-b+c）=a
根据我区近年来的高考阅卷方法，计算题的给分惯例如下：①准确写出必要的公式，一般可得2分，如上题中写出余弦定理
即可得2分。高考试题中常考的公式还有等差、等比数列的基本公式，数学期望公式，立体几何中向量法求角时的法向量夹角公式，求导公式等。②有一定的化简过程即可得1分。③计算结果正确得1分。几何题的给分，通常是做好图，得1分；写出必要的推理论证过程，得2分；计算过程及结果，得2分。鉴于存在以上给分惯例，在完全不懂如何答题的情况下，答题区域最好还是不要留空：如是立体几何考题，可以在图中作出一条连线并用文字予以说明；如是计算题，可以正确写出一条有关的公式。总之，考生要树立拿分意识，对真题的评分标准要了然于胸。
（三）关于选考题，重点突破坐标系与参数方程题型
平面几何需要添加辅助线，不等式绝对值的题目需要分类讨论，不等式证明题需要构造法，这些对学生来说都有一定的难度。相比之下，坐标系与参数方程题更容易获得解题思路，所以建议考生重点突破该题型。
坐标系与参数方程题的特点是“方法多样性，优势互补”。如极坐标方程应用的例子（绕极点旋转问题）：已知曲线C1的参
其余问题都转化为普通方程，用熟练的解析几何方法解决。因此，重点是熟练掌握各种方程的相互转化。
口诀：极化直、参化普，其实都是老朋友，画出图形老办法；线上距离用直参，最值问题用参数；旋转中心是极点，ρ不变来θ加减，两点连线过极点，距离可用ρ加减。
（四）分层备考，有效指导五种类型的学困生
下面以2015年南宁市第一次模拟考学生答题情况为例说明。
（1）基础薄弱类型
这类学生因基础知识没掌握好，导致平时记忆及解题错误率较高。图1为某文科考生17题的部分答卷。显然，该考生对于二倍角余弦公式和正弦定理的推论已经忘记，这里明显是乱用公式。这类学生应强化基础训练和基本技能，多做一些课本上的习题，力争小步快跑有效学习。
（2）缺少思路类型
这类学生看到题目往往不知从哪里下手，想不出命题者的思路，审题过程与知识严重脱节，缺乏解题技巧。图2为某文科考生21题的部分答卷。方程组虽然列对了，但运算思路混乱。这类考生应多建“母”题，强化审题意识，培养发散思维能力。
（3）粗心大意类型
这类考生知识结构和解题思路比较成熟，能找到解题要领和方式，但往往因偷工减料导致丢分。图3为某理科考生21题部分答卷：因为简单的一元一次不等式解错，导致严重丢分。这类考生应强化答题规范训练，规范答题，养成良好的答题习惯。
（4）知识生疏类型
主要表现为学习时间不够或不熟悉各章知识点。图4为某文科考生21题的部分答卷：该考生对椭圆的离心率公式已经很生疏了，导致解题无法进行。这类考生应多背多练、重获自信。
（5）一做就错类型
因对容易题掉以轻心，漏题丢分；对中档题分析不清楚，似是而非；对复杂题缺乏分析能力，知识结构和解题技巧不到位。图5为某文科考生20题的部分答卷：该生因忽略了函数的定义域，且解一元二次不等式的技能不熟练，导致大面积丢分。这类考生应加强解题模块构建，多做相似题型，仔细做题，触类旁通。
总之，要有效应对我区高中课改后的第一次高考，我们的备考原则是在抓好“三基”的同时培养学生的解题能力，在落实常规的同时抓好学生的分层辅导，在强化训练的同时精选试题，在关注整体推进的同时特别关注临界生成绩的提高。我们应该以更加宽广的视野，在重点内容、方法和思想相对稳定的前提下，注意调整试题考查的方式和角度，使选材更加多样化。另外，各校应加强对年级组与备课组的统一领导，充分发扬团队合作精神，在备课组统一行动的同时适当展示班级个性。后面的100天时间，备课组要统一命制试题，每周安排晚上50分钟的时间统一训练16道小题或3道解答题，隔周安排2小时统测一套卷子，并形成制度，以更好地激发学生的斗志，形成良好的备考氛围。
[本文系广西教育科学“十二五”规划2014年度广西考试招生研究专项课题“广西高中生数学学业水平等第划分标准的研究”（立项编号：2014ZKS006）的部分研究成果。]
参考文献
[1]中华人民共和国教育部．普通高中数学新课程标准（实验）[M]．北京：人民教育出版社，2003．4
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[4]教育部考试中心．2015年普通高校招生全国统一考试大纲的说明（理科）[M]．北京：高等教育出版社
[5]教育部考试中心．2015年普通高校招生全国统一考试大纲的说明（文科）[M]．北京：高等教育出版社
[6]李成祥，杨万舒．在新课标下高考数学复习的几点思考[J]．课程教育研究，2014，（2）
[7]蔡芙蓉，2015年海南数学高考备考研究[J]．考试研究，2014，（23）
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